A level-set method for shape optimization

We study a level-set method for numerical shape optimization of elastic structures. Our approach combines the level-set algorithm of Osher and Sethian with the classical shape gradient. Although this method is not specifically designed for topology optimization, it can easily handle topology changes for a very large class of objective functions. Its cost is moderate since the shape is captured on a fixed Eulerian mesh. c 2002 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS shape optimization, topology optimization, level set Une méthode de lignes de niveaux pour l’optimisation de formes Résumé. Nous proposons une méthode de lignes de niveaux pour l’optimisation de la forme de structures élastiques. Notre approche combine la méthode des lignes de niveaux d’Osher et Sethian et la dérivée classique de formes. Bien que cette méthode ne soit pas spécifiquement conçue pour faire de l’optimisation topologique, elle permet très facilement les changements de topologie de la forme d’une structure pour des fonctions objectifs très générales. Son coût en temps de calcul est modéré puisqu’il s’agit d’une méthode numérique de capture de formes sur un maillage Eulérien fixe. c 2002 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS optimisation de forme, optimisation topologique, lignes de niveaux Version française abrégée L’optimisation de structures m écaniques est un domaine très important du point de vue des applications qui a connu r écemment de nombreux progrès. A cot é des m éthodes classiques de variation de frontière (qui remontent au moins à Hadamard ; voir par exemple [9], [12], [15], [16]) est apparue une nouvelle Note présentée par Philippe G. CIARLET (01)0?-?/FLA c 2002 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés. 1 G. Allaire-F. Jouve-A.M. Toader m éthode d’optimisation, dite topologique, bas ée sur la th éorie de l’homog én éisation [1], [2], [3], [4], [5], [8] et les r éf érences cit ées. Cette dernière m éthode a un très faible coût de calcul car elle capture des formes sur un maillage fixe, mais elle est principalement restreinte à l’ élasticit é lin éaris ée. A la suite des travaux r écents [10], [14] nous proposons d’utiliser une m éthode de lignes de niveaux pour faire de l’optimisation de formes en combinant, autant que faire se peut, les avantages des m éthodes de variation de frontière et d’homog én éisation. Suivant une id ée de la m éthode d’homog én éisation nous utilisons un maillage fixe qui contient à la fois la forme et les trous (ou le vide) repr ésent és par un mat ériau très faible. Le bord de la forme est param étr é par une fonction ligne de niveaux suivant le formalisme d’Osher et Sethian [11], [13]. L’optimisation de forme consiste à transporter la fonction ligne de niveaux (c’est-à-dire le bord de la forme) avec une vitesse qui fasse d écroitre la fonction objectif. Suivant la m éthode de variation de frontière nous calculons cette vitesse en d érivant la fonction objectif par rapport à la forme. Nous consid érons un modèle m écanique d’ élasticit é lin éaris ée en deux ou trois dimensions d’espace et des fonctions objectifs r égulières g én érales (la compliance ou un critère de moindres carr és, voir (2) et (3)). Les tests num ériques effectu és montrent l’efficacit é de notre algorithme en deux et trois dimensions. Ce travail se distingue de l’ étude pr éc édente de Sethian et Wiegmann [14] car nous utilisons un gradient de forme et un mat ériau “mou” pour repr ésenter le vide, ce qui nous permet de traiter des fonctions objectifs plus g én érales. Il se distingue aussi du travail d’Osher et Santosa [10] qui étudiait un problème de valeurs propres pour le Laplacien avec deux mat ériaux non d ég én ér és.